Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 1$ , $y (0) = \frac{2}{5}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int 2 d t}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{2 t + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 t}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{2 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 1$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 1$

Bước 2.3

Nhân $e^{2 t}$ với $1$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{2 t}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{2 t}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{2 t} d t$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{2 t} y = \int e^{2 t} d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 6.1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 6.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 6.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 6.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Bước 6.4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Bước 6.5

Rút gọn.

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Bước 6.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ cho $e^{2 t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 t} y = \frac{1}{2} e^{2 t} + C$ cho $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Bước 7.3.1.2

Chia $\frac{1}{2}$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Bước 8

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $\frac{2}{5}$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Bước 9

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = \frac{2}{5}$

Bước 9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{2}{5}$

Bước 9.2.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Bước 9.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} + C = \frac{2}{5}$

Bước 9.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Trừ $\frac{1}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$

Bước 9.3.2

Để viết $\frac{2}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 9.3.3

Để viết $- \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 9.3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $10$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.1

Nhân $\frac{2}{5}$ với $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 9.3.4.2

Nhân $5$ với $2$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 9.3.4.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{5}{5}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

Bước 9.3.4.4

Nhân $2$ với $5$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{5}{10}$

Bước 9.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 5}{10}$

Bước 9.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$C = \frac{4 - 5}{10}$

Bước 9.3.6.2

Trừ $5$ khỏi $4$ .

$C = \frac{- 1}{10}$

Bước 9.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$C = - \frac{1}{10}$

Bước 10

Thay $- \frac{1}{10}$ cho $C$ trong $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay $- \frac{1}{10}$ bằng $C$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- \frac{1}{10}}{e^{2 t}}$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Bước 10.2.2

Nhân $\frac{1}{e^{2 t}}$ với $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2 t} \cdot 10}$

Bước 10.2.3

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $e^{2 t}$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{10 e^{2 t}}$