Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1$ , $y (1) = 2$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 \int x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Bước 2.3.4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Bước 2.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \int \frac{x}{2} d x + \int d x$

Bước 2.3.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int d x$

Bước 2.3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int d x$

Bước 2.3.8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + x + C_{4}$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + C_{5}$

Bước 2.3.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $2$ cho $y$ trong $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ .

$2 = \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Bước 4.2

Rút gọn $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.1.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1 + 1 + K = 2$

Bước 4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.2

Để viết $\frac{2}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.3

Để viết $- \frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.4.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.4.3

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.4.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{12} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 \cdot 4 - 3}{12} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{8 - 3}{12} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.6.2

Trừ $3$ khỏi $8$ .

$\frac{5}{12} + 1 + K = 2$

Bước 4.2.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{5}{12} + \frac{12}{12} + K = 2$

Bước 4.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 + 12}{12} + K = 2$

Bước 4.2.9

Cộng $5$ và $12$ .

$\frac{17}{12} + K = 2$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{17}{12}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 2 - \frac{17}{12}$

Bước 4.3.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{12}{12}$ .

$K = 2 \cdot \frac{12}{12} - \frac{17}{12}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{12}{12}$ .

$K = \frac{2 \cdot 12}{12} - \frac{17}{12}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{2 \cdot 12 - 17}{12}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $2$ với $12$ .

$K = \frac{24 - 17}{12}$

Bước 4.3.5.2

Trừ $17$ khỏi $24$ .

$K = \frac{7}{12}$

Bước 5

Thay $\frac{7}{12}$ cho $K$ trong $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{7}{12}$ bằng $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{3}$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

Bước 5.2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{7}{12}$