Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $\frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 1.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (x)}$

Bước 1.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{2})}$

Bước 1.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{2}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Bước 2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

Bước 2.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

Bước 2.3

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

Bước 2.3.2

Cộng $2$ và $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{5}$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.1.2.4

Chia $\frac{1}{5} x^{3}$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $\frac{2}{5}$ cho $y$ trong $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

Bước 9

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Bước 9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Bước 9.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Bước 9.2.3

Chia $C$ cho $1$ .

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

Bước 9.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Trừ $\frac{1}{5}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

Bước 9.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$C = \frac{2 - 1}{5}$

Bước 9.3.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$C = \frac{1}{5}$

Bước 10

Thay $\frac{1}{5}$ cho $C$ trong $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay $\frac{1}{5}$ bằng $C$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Bước 10.2.2

Kết hợp.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

Bước 10.2.3

Nhân $1$ với $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$