Giải tích Ví dụ

$(2 y + t) d y + y d t = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$y d t + (2 y + t) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 y + t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + t]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y + t$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [t]$

Bước 3.3

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [t]$

Bước 3.4

Vì $t$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $t$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Bước 3.5

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $0$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 0$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$1 = 0$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 5.2

Thay $1$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - 1}{M}$

Bước 5.3

Thay $y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $y$ bằng $M$ .

$\frac{0 - 1}{y}$

Bước 5.3.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{- 1}{y}$

Bước 5.3.3

Thay $y$ bằng $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Bước 6

Tính $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 6.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Bước 6.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Bước 6.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn $- \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Bước 6.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Bước 6.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $y d t + (2 y + t) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $y$ với $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{1}{y} d t + (2 y + t) d y = 0$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 d t + (2 y + t) d y = 0$

Bước 7.3

Nhân $2 y + t$ với $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + (2 y + t) \frac{1}{y} d y = 0$

Bước 7.4

Nhân $2 y + t$ với $\frac{1}{y}$ .

$1 d t + \frac{2 y + t}{y} d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Bước 9

Lấy tích phân $M (x, y) = 1$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y + t}{y}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Bước 12.3

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y + t}{y}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Bước 12.5

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $\frac{2 y + t}{y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y + t}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y + t}{y} d y$

Bước 13.3

Chia phân số thành nhiều phân số.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} + \frac{t}{y} d y$

Bước 13.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Bước 13.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \int \frac{2 y}{y} d y + \int \frac{t}{y} d y$

Bước 13.5.2

Chia $2$ cho $1$ .

$g (y) = \int 2 d y + \int \frac{t}{y} d y$

Bước 13.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = 2 y + C + \int \frac{t}{y} d y$

Bước 13.7

Vì $t$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $t$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 y + C + t \int \frac{1}{y} d y$

Bước 13.8

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 y + C + t (\ln (| y |) + C)$

Bước 13.9

Rút gọn.

$g (y) = 2 y + t \ln (| y |) + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 y + t \ln (| y |) + C$