Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{x - y}$ , $y (0) = \ln (8)$

Bước 1

Giả sử $v = e^{x - y}$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 v$

Bước 2

Tìm $\frac{d v}{d x}$ bằng cách tính đạo hàm $e^{x - y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Bước 3

Thay $v$ bằng $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Bước 4

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = 2 v$

Bước 5

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giải tìm $\frac{d v}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$

Bước 5.1.2

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 2 v - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.1.2.2.2

Chia $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ cho $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{2 v}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{2 v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (2 v) + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.1.2.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot (2 v)$ ở dạng $- (2 v)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (2 v) + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.1.2.3.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 v + \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.1.2.3.1.4

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 v + 1$

Bước 5.1.3

Nhân cả hai vế với $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- 2 v + 1) v$

Bước 5.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (- 2 v + 1) v$

Bước 5.1.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} = (- 2 v + 1) v$

Bước 5.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.2.1

Rút gọn $(- 2 v + 1) v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v \cdot v + 1 v$

Bước 5.1.4.2.1.2

Nhân $v$ với $v$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.2.1.2.1

Di chuyển $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 (v \cdot v) + 1 v$

Bước 5.1.4.2.1.2.2

Nhân $v$ với $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{2} + 1 v$

Bước 5.1.4.2.1.3

Nhân $v$ với $1$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{2} + v$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{- 2 v^{2} + v}$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v^{2} + v} (- 2 v^{2} + v)$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $v$ ra ngoài $- 2 v^{2} + v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Đưa $v$ ra ngoài $- 2 v^{2}$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v} (- 2 v^{2} + v)$

Bước 5.3.1.2

Nâng $v$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v^{1}} (- 2 v^{2} + v)$

Bước 5.3.1.3

Đưa $v$ ra ngoài $v^{1}$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v) + v \cdot 1} (- 2 v^{2} + v)$

Bước 5.3.1.4

Đưa $v$ ra ngoài $v (- 2 v) + v \cdot 1$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v (- 2 v + 1)} (- 2 v^{2} + v)$

Bước 5.3.2

Nhân $\frac{1}{v (- 2 v + 1)}$ với $- 2 v^{2} + v$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v^{2} + v}{v (- 2 v + 1)}$

Bước 5.3.3

Đưa $v$ ra ngoài $- 2 v^{2} + v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $v$ ra ngoài $- 2 v^{2}$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v}{v (- 2 v + 1)}$

Bước 5.3.3.2

Nâng $v$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v^{1}}{v (- 2 v + 1)}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $v$ ra ngoài $v^{1}$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v) + v \cdot 1}{v (- 2 v + 1)}$

Bước 5.3.3.4

Đưa $v$ ra ngoài $v (- 2 v) + v \cdot 1$ .

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v + 1)}{v (- 2 v + 1)}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{v (- 2 v + 1)}{v (- 2 v + 1)}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v + 1}{- 2 v + 1}$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $- 2 v + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v + 1}{- 2 v + 1}$

Bước 5.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} \frac{d v}{d x} = 1$

Bước 5.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{- 2 v^{2} + v} d v = 1 d x$

Bước 6

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{- 2 v^{2} + v} d v = \int d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Đưa $v$ ra ngoài $- 2 v^{2} + v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1.1

Đưa $v$ ra ngoài $- 2 v^{2}$ .

$\frac{1}{v (- 2 v) + v}$

Bước 6.2.1.1.1.2

Nâng $v$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{v (- 2 v) + v^{1}}$

Bước 6.2.1.1.1.3

Đưa $v$ ra ngoài $v^{1}$ .

$\frac{1}{v (- 2 v) + v \cdot 1}$

Bước 6.2.1.1.1.4

Đưa $v$ ra ngoài $v (- 2 v) + v \cdot 1$ .

$\frac{1}{v (- 2 v + 1)}$

Bước 6.2.1.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.3

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $v (- 2 v + 1)$ .

$\frac{1 (v (- 2 v + 1))}{v (- 2 v + 1)} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (v (- 2 v + 1))}{v (- 2 v + 1)} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (- 2 v + 1)}{- 2 v + 1} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $- 2 v + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (- 2 v + 1)}{- 2 v + 1} = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (v (- 2 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.6.1.2

Chia $A (- 2 v + 1)$ cho $1$ .

$1 = A (- 2 v + 1) + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A (- 2 v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.6.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 = - 2 A v + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.6.4

Nhân $A$ với $1$ .

$1 = - 2 A v + A + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.6.5

Triệt tiêu thừa số chung $- 2 v + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.6.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = - 2 A v + A + \frac{B (v (- 2 v + 1))}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.1.6.5.2

Chia $B v$ cho $1$ .

$1 = - 2 A v + A + B v$

Bước 6.2.1.1.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.7.1

Di chuyển $A$ .

$1 = - 2 v A + A + B v$

Bước 6.2.1.1.7.2

Sắp xếp lại $B$ và $v$ .

$1 = - 2 v A + A + B v$

Bước 6.2.1.1.7.3

Di chuyển $A$ .

$1 = - 2 v A + B v + A$

Bước 6.2.1.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $v$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = - 2 A + B$

Bước 6.2.1.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $v$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = A$

Bước 6.2.1.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

Bước 6.2.1.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = - 2 A + B$

Bước 6.2.1.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $1$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $0 = - 2 A + B$ bằng $1$ .

$0 = - 2 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Bước 6.2.1.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.2.2.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

$0 = - 2 + B$

$A = 1$

Bước 6.2.1.3.3

Giải tìm $B$ trong $0 = - 2 + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 2 + B = 0$ .

$- 2 + B = 0$

$A = 1$

Bước 6.2.1.3.3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

Bước 6.2.1.3.4

Giải hệ phương trình.

$B = 2 A = 1$

Bước 6.2.1.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$B = 2, A = 1$

Bước 6.2.1.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{v} + \frac{B}{- 2 v + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- 2 v + 1}$

Bước 6.2.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 v$ .

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v) + 1}$

Bước 6.2.1.5.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v) - 1 \cdot - 1}$

Bước 6.2.1.5.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 v) - 1 (- 1)$ .

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- (2 v - 1)}$

Bước 6.2.1.5.4

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.5.4.1

Viết lại $- (2 v - 1)$ ở dạng $- 1 (2 v - 1)$ .

$\frac{1}{v} + \frac{2}{- 1 (2 v - 1)}$

Bước 6.2.1.5.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{1}{v} - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Bước 6.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{v}$ đối với $v$ là $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Bước 6.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $v$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{2}{2 v - 1} d v = \int d x$

Bước 6.2.5

Vì $2$ không đổi đối với $v$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| v |) + C_{1} - (2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v) = \int d x$

Bước 6.2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{2 v - 1} d v = \int d x$

Bước 6.2.7

Giả sử $u_{2} = 2 v - 1$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d v$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 v - 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1.1

Tính đạo hàm $2 v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [2 v - 1]$

Bước 6.2.7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 v - 1$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.7.1.3

Tính $\frac{d}{d v} [2 v]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $v$ , nên đạo hàm của $2 v$ đối với $v$ là $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.7.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.7.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.7.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $v$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $v$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 6.2.7.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 6.2.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d x$

Bước 6.2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

Bước 6.2.8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Bước 6.2.9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| v |) + C_{1} - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Bước 6.2.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.10.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Bước 6.2.10.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Bước 6.2.10.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.10.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Bước 6.2.10.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Bước 6.2.10.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Bước 6.2.10.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Bước 6.2.11

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Bước 6.2.12

Rút gọn.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

Bước 6.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x + C$

Bước 7

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = x + C$

Bước 7.2

Sắp xếp lại $x$ và $C$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$

Bước 7.3

Để giải tìm $v$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{C + x}$

Bước 7.4

Viết lại $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + x$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C + x} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Bước 7.5

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + x}$

Bước 7.5.2

Nhân cả hai vế với $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

Bước 7.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| u_{2} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + x} | u_{2} |$

Bước 7.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| v | = e^{C + x} | u_{2} |$

Bước 7.5.4

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C + x} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{C + x}$

Bước 7.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{C + x}$

Bước 8

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$v = \pm | u_{2} | e^{x + C}$

Bước 8.2

Viết lại $e^{x + C}$ ở dạng $e^{x} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{x} e^{C})$

Bước 8.3

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{x})$

Bước 8.4

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$v = C | u_{2} | e^{x}$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $e^{x - y}$ .

$e^{x - y} = C | u_{2} | e^{x}$

Bước 10

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Bước 10.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Khai triển $\ln (e^{x - y})$ bằng cách di chuyển $x - y$ ra bên ngoài lôgarit.

$(x - y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Bước 10.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(x - y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Bước 10.2.3

Nhân $x - y$ với $1$ .

$x - y = \ln (C | u_{2} | e^{x})$

Bước 10.3

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Viết lại $\ln (C | u_{2} | e^{x})$ ở dạng $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$ .

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{x})$

Bước 10.3.2

Viết lại $\ln (C | u_{2} |)$ ở dạng $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{x})$

Bước 10.3.3

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \ln (e)$

Bước 10.3.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x \cdot 1$

Bước 10.3.5

Nhân $x$ với $1$ .

$x - y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + x$

Bước 10.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x - y = \ln (C | u_{2} |) + x$

Bước 10.5

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- y = \ln (C | u_{2} |) + x - x$

Bước 10.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\ln (C | u_{2} |) + x - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Bước 10.5.2.2

Cộng $\ln (C | u_{2} |)$ và $0$ .

$- y = \ln (C | u_{2} |)$

Bước 10.6

Chia mỗi số hạng trong $- y = \ln (C | u_{2} |)$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Chia mỗi số hạng trong $- y = \ln (C | u_{2} |)$ cho $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Bước 10.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Bước 10.6.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$

Bước 10.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\ln (C | u_{2} |)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$

Bước 10.6.3.2

Viết lại $- 1 \cdot \ln (C | u_{2} |)$ ở dạng $- \ln (C | u_{2} |)$ .

$y = - \ln (C | u_{2} |)$

Bước 11

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $\ln (8)$ cho $y$ trong $y = - \ln (C | u_{2} |)$ .

$\ln (8) = - \ln (C | u_{2} |)$

Bước 12

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \ln (C | u_{2} |) = \ln (8)$ .

$- \ln (C | u_{2} |) = \ln (8)$

Bước 12.2

Rút gọn $- \ln (C | u_{2} |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$\ln ({(C | u_{2} |)}^{- 1}) = \ln (8)$

Bước 12.3

Để cân bằng phương trình, đối số của logarit trên cả hai vế của phương trình phải cân bằng.

${(C | u_{2} |)}^{- 1} = 8$

Bước 12.4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$

Bước 12.4.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$C | u_{2} |, 1$

Bước 12.4.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$C | u_{2} |$

Bước 12.4.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$ với $C | u_{2} |$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{C | u_{2} |} = 8$ với $C | u_{2} |$ .

$\frac{1}{C | u_{2} |} (C | u_{2} |) = 8 (C | u_{2} |)$

Bước 12.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $C | u_{2} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{C | u_{2} |} (C | u_{2} |) = 8 (C | u_{2} |)$

Bước 12.4.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = 8 (C | u_{2} |)$

Bước 12.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.3.3.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$1 = 8 C | u_{2} |$

Bước 12.4.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $8 C | u_{2} | = 1$ .

$8 C | u_{2} | = 1$

Bước 12.4.4.2

Chia mỗi số hạng trong $8 C | u_{2} | = 1$ cho $8 | u_{2} |$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $8 C | u_{2} | = 1$ cho $8 | u_{2} |$ .

$\frac{8 C | u_{2} |}{8 | u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Bước 12.4.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 C | u_{2} |}{8 | u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Bước 12.4.4.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Bước 12.4.4.2.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{1}{8 | u_{2} |}$

Bước 13

Thay $\frac{1}{8 | u_{2} |}$ cho $C$ trong $y = - \ln (C | u_{2} |)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay $\frac{1}{8 | u_{2} |}$ bằng $C$ .

$y = - \ln (\frac{1}{8 | u_{2} |} | u_{2} |)$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung $| u_{2} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Đưa $| u_{2} |$ ra ngoài $8 | u_{2} |$ .

$y = - \ln (\frac{1}{| u_{2} | \cdot 8} | u_{2} |)$

Bước 13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \ln (\frac{1}{| u_{2} | \cdot 8} | u_{2} |)$

Bước 13.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = - \ln (\frac{1}{8})$