Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{6 e^{2 x}}{e^{y}}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$e^{y} d y = 6 e^{2 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int e^{y} d y = \int 6 e^{2 x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 6 e^{2 x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{2 x} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.5.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int e^{u} d u$

Bước 2.3.6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 e^{2 x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$e^{y} = 3 e^{2 x} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Bước 3.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Bước 3.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (3 e^{2 x} + K)$

Bước 3.2.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (3 e^{2 x} + K)$