Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 x + y$

Bước 1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - y = 4 x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 1 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (4 x)$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (4 x)$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x} x$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 4 e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 4 x e^{- x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 4 x e^{- x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 4 x e^{- x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- x} y = \int 4 x e^{- x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x} y = 4 \int x e^{- x} d x$

Bước 7.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Bước 7.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Bước 7.4.2

Nhân $\int e^{- x} d x$ với $1$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Bước 7.5

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 7.5.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 7.5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 7.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Bước 7.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Bước 7.7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{- x} y = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Bước 7.8

Viết lại $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ ở dạng $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Bước 7.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ cho $e^{- x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x} y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ cho $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Bước 8.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Bước 8.3.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Bước 8.3.2.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Bước 8.3.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Bước 8.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Bước 8.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Bước 8.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $C$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- C)}{e^{- x}}$

Bước 8.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Bước 8.3.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.6.1

Viết lại $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)$ ở dạng $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Bước 8.3.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - C}{e^{- x}}$