Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x + 1}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.3

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$y + C_{1} = 2 \ln (| x + 1 |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = 2 \ln (| x + 1 |) + C$