Giải tích Ví dụ

$\frac{d P}{d x} = 3 x \sqrt{x^{2} + 9}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d P = 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d P = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$P + C_{1} = \int 3 x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$P + C_{1} = 3 \int x \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = x^{2} + 9$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 2.3.2.1.4

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$P + C_{1} = 3 \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.3

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$P + C_{1} = 3 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$P + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Bước 2.3.5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Bước 2.3.5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$P + C_{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$P + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$P + C_{1} = \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$P + C_{1} = 1 u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.5

Nhân $u^{\frac{3}{2}}$ với $1$ .

$P + C_{1} = u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 9$ .

$P + C_{1} = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$P = {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} + K$