Giải tích Ví dụ

$(x y + x + 2 y + 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x y + x + 2 y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x + 2 y + 1]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y + x + 2 y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.4

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.5.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.6

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0 + 2 + 0$

Bước 1.7

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 + 0$

Bước 1.7.2

Cộng $x + 2$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Bước 2.5

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x + 2$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 2 = 1$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x + 2 = 1$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x + 2$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $1$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 2 - 1}{N}$

Bước 4.3

Thay $x + 1$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x + 1$ bằng $N$ .

$\frac{x + 2 - 1}{x + 1}$

Bước 4.3.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{x + 1}{x + 1}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x + 1}{x + 1}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$1$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Bước 5.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(x y + x + 2 y + 1) d x + (x + 1) d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x y + x + 2 y + 1$ với $e^{x}$ .

$(x y + x + 2 y + 1) e^{x} d x + (x + 1) d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + 1 e^{x}) d x + (x + 1) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x + 1) d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $x + 1$ với $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x + 1) e^{x} d y = 0$

Bước 6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x e^{x} + 1 e^{x}) d y = 0$

Bước 6.6

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$(x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}) d x + (x e^{x} + e^{x}) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + e^{x} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = x e^{x} + e^{x}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y + g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $(x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + e^{x}) y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $(x e^{x} + e^{x}) y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{x} + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.3.7

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.3.8

Cộng $e^{x}$ và $e^{x}$ .

$y (x e^{x} + 2 e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + 2 e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y (x e^{x}) + y (2 e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$y x e^{x} + 2 y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + 2 e^{x} y = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 11.5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + 2 e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + 2 y e^{x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $x y e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x}$

Bước 12.1.2

Trừ $2 y e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x} - 2 y e^{x}$

Bước 12.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x y e^{x} + x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - x y e^{x} - 2 y e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Trừ $x y e^{x}$ khỏi $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} + 0 - 2 y e^{x}$

Bước 12.1.3.2

Cộng $x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 2 y e^{x} + e^{x} - 2 y e^{x}$

Bước 12.1.3.3

Trừ $2 y e^{x}$ khỏi $2 y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + 0 + e^{x}$

Bước 12.1.3.4

Cộng $x e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{x} + e^{x}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $x e^{x} + e^{x}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x e^{x} + e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{x} + e^{x} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x e^{x} + e^{x} d x$

Bước 13.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (x) = \int x e^{x} d x + \int e^{x} d x$

Bước 13.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int e^{x} d x$

Bước 13.5

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} - (e^{x} + C) + \int e^{x} d x$

Bước 13.6

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} - (e^{x} + C) + e^{x} + C$

Bước 13.7

Rút gọn.

$g (x) = x e^{x} - e^{x} + e^{x} + C$

Bước 13.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.8.1

Cộng $- e^{x}$ và $e^{x}$ .

$g (x) = x e^{x} + 0 + C$

Bước 13.8.2

Cộng $x e^{x}$ và $0$ .

$g (x) = x e^{x} + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + x e^{x} + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = (x e^{x} + e^{x}) y + x e^{x} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y + x e^{x} + C$

Bước 15.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y + x e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + y e^{x} + x e^{x} + C$