Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{- y}}{1 + x^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y})$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $e^{- y}$ ra ngoài $\frac{x}{1 + x^{2}} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \frac{x}{1 + x^{2}})$

Bước 1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Làm âm số mũ của $e^{- y}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.1.2.1.2

Nhân $- y \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.1.2.1.2.2

Nhân $y$ với $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $e^{y}$ với $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$e^{y} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Bước 3.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Bước 3.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Bước 3.2.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$

Bước 3.3

Khai triển $\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$y = \ln (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Bước 3.4

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$y = \ln (\ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C)$