Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{y^{2}}{x^{2} + x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x + y}$

Bước 1.1.2

Sắp xếp lại $\frac{y}{x}$ và $\frac{y}{x + y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.2

Nhân $\frac{y}{x + y}$ với $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}} \frac{y}{x}$

Bước 1.3

Nhân $\frac{y}{x + y}$ với $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{(x + y) \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x^{1}} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.5

Rút gọn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x^{1}}} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.6

Rút gọn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.7

Rút gọn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.8

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.9

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.9.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + y \frac{1}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.9.2

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V} V$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V} V$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Nhân $\frac{V}{1 + V} V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Kết hợp $\frac{V}{1 + V}$ và $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{1 + V}$

Bước 6.1.1.1.2

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V}{1 + V}$

Bước 6.1.1.1.3

Nâng $V$ lên lũy thừa $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1} V^{1}}{1 + V}$

Bước 6.1.1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{1 + 1}}{1 + V}$

Bước 6.1.1.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{1 + V}$

Bước 6.1.1.2

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{1 + V} - V$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2

Để viết $- V$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} - V \cdot \frac{1 + V}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.3.1

Kết hợp $- V$ và $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{1 + V} + \frac{- V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2} - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.4.1

Đưa $V$ ra ngoài $V^{2} - V (1 + V)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.4.1.1

Đưa $V$ ra ngoài $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.1.2

Đưa $V$ ra ngoài $- V (1 + V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V + V (- (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.1.3

Đưa $V$ ra ngoài $V \cdot V + V (- (1 + V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 \cdot 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V - 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.4

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - 1)}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.4.5

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.5.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 \cdot V}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{1 + V}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.7

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{x (1 + V)}$

Bước 6.1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1 + V}{V}$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V} (- \frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} (\frac{V}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 6.1.4.2

Nhân $\frac{V}{1 + V}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Bước 6.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $1 + V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1 + V}{V}$ vào tử số.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V)}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Bước 6.1.4.3.2

Đưa $1 + V$ ra ngoài $- (1 + V)$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Bước 6.1.4.3.3

Đưa $1 + V$ ra ngoài $(1 + V) x$ .

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) (x)}$

Bước 6.1.4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V} \cdot \frac{V}{(1 + V) x}$

Bước 6.1.4.3.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

Bước 6.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{x}$

Bước 6.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + V}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1 + V}{V} d V = - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1 + V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{1}{V} + \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{V}{V} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{V} d V + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{V}$ đối với $V$ là $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| V |) + C_{1} + V + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.6

Rút gọn.

$\ln (| V |) + V + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Bước 6.2.3.3

Rút gọn.

$V + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$V + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Bước 8.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{y}{x} + C$

Bước 8.3

Nhân $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{y}{x} + C$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{y}{x}$ và $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

Bước 8.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{y}{x} + C$

Bước 8.4.2

Chia $y$ cho $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{y}{x} + C$