Giải tích Ví dụ

$(y + 1) e^{x} d x - (e^{x} + 1) d y = 0$

Bước 1

Trừ $(y + 1) e^{x} d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- (e^{x} + 1) d y = - (y + 1) e^{x} d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (e^{x} + 1)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Bước 3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ vào tử số.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Bước 3.5.2

Đưa $y + 1$ ra ngoài $(e^{x} + 1) (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Bước 3.5.3

Đưa $y + 1$ ra ngoài $(y + 1) e^{x}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

Bước 3.5.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Bước 3.5.5

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{- 1}{e^{x} + 1}$ và $e^{x}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Bước 4.2.2

Giả sử $u_{1} = y + 1$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Hãy đặt $u_{1} = y + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Tính đạo hàm $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Bước 4.2.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 4.2.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 4.2.2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.2.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Bước 4.2.3

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Bước 4.2.4

Rút gọn.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Bước 4.2.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Bước 4.3.2

Giả sử $u_{2} = e^{x} + 1$ . Sau đó $d u_{2} = e^{x} d x$ , nên $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Tính đạo hàm $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Bước 4.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x} + 0$

Bước 4.3.2.1.4.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$e^{x}$

Bước 4.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.3

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Bước 4.3.4

Rút gọn.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 4.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x} + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C$