Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 5 x^{2}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $\frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 1.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (x)}$

Bước 1.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{2})}$

Bước 1.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{2}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (5 x^{2})$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2})$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2})$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2})$

Bước 2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (5 x^{2})$

Bước 2.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (5 x^{2})$

Bước 2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{2} x^{2}$

Bước 2.4

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 (x^{2} x^{2})$

Bước 2.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{2 + 2}$

Bước 2.4.3

Cộng $2$ và $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{4}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 5 x^{4}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 5 x^{4} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$x^{2} y = \int 5 x^{4} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} y = 5 \int x^{4} d x$

Bước 6.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Bước 6.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Viết lại $5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ ở dạng $5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ .

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Bước 6.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{5}$ .

$x^{2} y = \frac{5}{5} x^{5} + C$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} y = \frac{5}{5} x^{5} + C$

Bước 6.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} y = 1 x^{5} + C$

Bước 6.3.2.3

Nhân $x^{5}$ với $1$ .

$x^{2} y = x^{5} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = x^{5} + C$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = x^{5} + C$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{5}$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 7.3.1.2.4

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$y = x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$