Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - y}{x}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tách phân số $\frac{e^{x} - y}{x}$ thành hai phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{- y}{x}$

Bước 1.1.2

Trừ $\frac{- y}{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1}{x}) = \frac{e^{x}}{x}$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{- 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{- 1}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- \frac{- 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{\int - - \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{\int 1 \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.1.3

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (x)}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (- \frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x \frac{d y}{d x} - x (\frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Bước 3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{y}{x}) = x \frac{e^{x}}{x}$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{y}{x}$ vào tử số.

$x \frac{d y}{d x} - x \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Bước 3.2.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Bước 3.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Bước 3.2.4.4

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d y}{d x} - - y = x \frac{e^{x}}{x}$

Bước 3.2.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 y = x \frac{e^{x}}{x}$

Bước 3.2.6

Nhân $y$ với $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Bước 3.3.2

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x y] = e^{x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int e^{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$x y = \int e^{x} d x$

Bước 7

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$x y = e^{x} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x y = e^{x} + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = e^{x} + C$ cho $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$