Giải tích Ví dụ

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

Bước 1

Trừ $(2 x + Y) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 Y + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Bước 3.4

Nhân $- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Bước 3.4.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Bước 3.4.3

Kết hợp $\frac{- 2}{2 Y + x}$ và $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Bước 3.5

Kết hợp $Y$ và $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

Bước 3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

Bước 3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- Y$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

Bước 3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - (Y)$ .

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Bước 3.10

Viết lại $- (2 x + Y)$ ở dạng $- 1 (2 x + Y)$ .

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Bước 3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Bước 4.3.2

Giả sử $u = 2 Y + x$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Hãy đặt $u = 2 Y + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Tính đạo hàm $2 Y + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

Bước 4.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 Y + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.2.1.3

Vì $2 Y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 Y$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 4.3.2.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 4.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

Bước 4.3.3

Chia phân số thành nhiều phân số.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

Bước 4.3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.5

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.6

Chia phân số thành nhiều phân số.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.8.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.12

Vì $2 Y$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2 Y$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.13

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.14

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Bước 4.3.15

Vì $Y$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $Y$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 4.3.16

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

Bước 4.3.17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.17.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Bước 4.3.17.2

Cộng $- 4 Y \ln (| u |)$ và $Y \ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Bước 4.3.18

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 Y + x$ .

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Bước 4.3.19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.19.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.19.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Bước 4.3.19.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Bước 4.3.19.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Bước 4.3.19.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.19.3.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Bước 4.3.19.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Bước 4.3.19.3.3

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

Bước 4.3.20

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$