Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12$ , $y (1) = 24$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (7 x^{6} - 4 x^{3} + 12) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} - 4 x^{3} + 12 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 7 x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Bước 2.3.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 7 \int x^{6} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int 12 d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int 12 d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int 12 d x$

Bước 2.3.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $x^{7}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Bước 2.3.7.1.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

$y + C_{1} = x^{7} - x^{4} + 12 x + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $24$ cho $y$ trong $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ .

$24 = 1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$ .

$1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Bước 4.2

Rút gọn $1^{7} - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - 1^{4} + 12 \cdot 1 + K = 24$

Bước 4.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - 1 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 - 1 + 12 \cdot 1 + K = 24$

Bước 4.2.1.4

Nhân $12$ với $1$ .

$1 - 1 + 12 + K = 24$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0 + 12 + K = 24$

Bước 4.2.2.2

Cộng $0$ và $12$ .

$12 + K = 24$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $12$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 24 - 12$

Bước 4.3.2

Trừ $12$ khỏi $24$ .

$K = 12$

Bước 5

Thay $12$ cho $K$ trong $y = x^{7} - x^{4} + 12 x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $12$ bằng $K$ .

$y = x^{7} - x^{4} + 12 x + 12$