Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - 4 = 8 x^{3} - 3 x^{2}$ , $y (1) = 5$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d y = (8 x^{3} - 3 x^{2} + 4) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Bước 2.3.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int 4 d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 4 d x$

Bước 2.3.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Bước 2.3.7.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

$y + C_{1} = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $5$ cho $y$ trong $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ .

$5 = 2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$ .

$2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Bước 4.2

Rút gọn $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 \cdot 1 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Bước 4.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Bước 4.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 - 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Bước 4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 - 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Bước 4.2.1.5

Nhân $4$ với $1$ .

$2 - 1 + 4 + K = 5$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$1 + 4 + K = 5$

Bước 4.2.2.2

Cộng $1$ và $4$ .

$5 + K = 5$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 5 - 5$

Bước 4.3.2

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$K = 0$

Bước 5

Thay $0$ cho $K$ trong $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $0$ bằng $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + 0$

Bước 5.2

Cộng $2 x^{4} - x^{3} + 4 x$ và $0$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x$