Giải tích Ví dụ

$(2 x + e^{y}) d x + x e^{y} d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x + e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + e^{y}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + e^{y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Bước 1.2.2

Vì $2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{y}$

Bước 1.4

Cộng $0$ và $e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Bước 2.2

Vì $e^{y}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x e^{y}$ đối với $x$ là $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1$

Bước 2.4

Nhân $e^{y}$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $e^{y}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $e^{y}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$e^{y} = e^{y}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$e^{y} = e^{y}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{y} d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = x e^{y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y$

Bước 5.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C)$

Bước 5.3

Rút gọn.

$f (x, y) = x e^{y} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + e^{y}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + g (x)] = 2 x + e^{y}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{y} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $e^{y}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x e^{y}$ đối với $x$ là $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

Bước 8.3.3

Nhân $e^{y}$ với $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + e^{y}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{y} + \frac{d g}{d x} = 2 x + e^{y}$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = 2 x + e^{y}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $e^{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + e^{y} - e^{y}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x + e^{y} - e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $e^{y}$ khỏi $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $2 x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Bước 10.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 2 \int x d x$

Bước 10.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 10.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 10.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 10.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Bước 10.5.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + x^{2} + C$