Giải tích Ví dụ

$\frac{d v}{d t} = \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 2$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d v = (\frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d v = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.3.2

Vì $8$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.3.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ đối với $t$ là $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 2.3.5

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$v + C_{1} = 8 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $2$ cho $v$ trong $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ .

$2 = 8 \arctan (0) + \tan (0) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$ .

$8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $8 \arctan (0) + \tan (0) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$8 \cdot 0 + \tan (0) + K = 2$

Bước 4.2.1.1.2

Nhân $8$ với $0$ .

$0 + \tan (0) + K = 2$

Bước 4.2.1.1.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$0 + 0 + K = 2$

Bước 4.2.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 0 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + K = 2$

Bước 4.2.1.2.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = 2$

Bước 5

Thay $2$ cho $K$ trong $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $2$ bằng $K$ .

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + 2$