Giải tích Ví dụ

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ cho $x^{2} + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ cho $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} y$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} + 1} y)$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{x}{x^{2} + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

Bước 1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Bước 3.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.3

Để viết $\ln (| y |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $\ln (| y |)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.6

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.6.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 3.6.1.1.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2} = C$

Bước 3.6.1.2

Viết lại $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}) = C$

Bước 3.6.1.3

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.6.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.6.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.6.1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.6.1.5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.6.1.5.2

Rút gọn.

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Bước 3.7

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Bước 3.8

Viết lại $\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.9

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Bước 3.9.2

Nhân cả hai vế với ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.9.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.9.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 = C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ .

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ cho ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ cho ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$C = \frac{1}{{| 0 + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2.3.1.2

Cộng $0$ và $1$ .

$C = \frac{1}{{| 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2.3.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$C = \frac{1}{1^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2.3.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$C = \frac{1}{1}$

Bước 6.2.3.2

Chia $1$ cho $1$ .

$C = 1$

Bước 7

Thay $1$ cho $C$ trong $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $1$ bằng $C$ .

$y = 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 7.2

Nhân ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$y = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$