Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2} e^{y}$ , $y (1) = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} ({(x + 2)}^{2} e^{y})$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đưa $e^{y}$ ra ngoài ${(x + 2)}^{2} e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Bước 1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Bước 1.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2}$

Bước 1.2.2

Viết lại ${(x + 2)}^{2}$ ở dạng $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = (x + 2) (x + 2)$

Bước 1.2.3

Khai triển $(x + 2) (x + 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Bước 1.2.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Bước 1.2.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Bước 1.2.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Bước 1.2.4.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Bước 1.2.4.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Bước 1.2.4.2

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x + 4$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (x^{2} + 4 x + 4) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Làm âm số mũ của $e^{y}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Bước 2.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Bước 2.2.1.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Bước 2.2.1.2.1.3

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $e^{- y}$ với $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Bước 2.2.2

Giả sử $u = - y$ . Sau đó $d u = - d y$ , nên $- d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Hãy đặt $u = - y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.2.2.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.2.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Bước 2.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Bước 2.2.4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$- e^{u} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Bước 2.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Bước 2.3.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x + \int 4 d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 4 d x$

Bước 2.3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Bước 2.3.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Bước 2.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ cho $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.2.2

Chia $e^{- y}$ cho $1$ .

$e^{- y} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{2 x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot (2 x^{2})$ ở dạng $- (2 x^{2})$ .

$e^{- y} = - (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.4

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.5

Viết lại $- 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3})$ ở dạng $- (\frac{1}{3} x^{3})$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.7

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{4 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 1 \cdot (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.8

Viết lại $- 1 \cdot (4 x)$ ở dạng $- (4 x)$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.9

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{K}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.10

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - 1 \cdot K$

Bước 3.1.3.1.11

Viết lại $- 1 \cdot K$ ở dạng $- K$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K$

Bước 3.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Bước 3.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển $\ln (e^{- y})$ bằng cách di chuyển $- y$ ra bên ngoài lôgarit.

$- y \ln (e) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Bước 3.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Bước 3.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Bước 3.4

Chia mỗi số hạng trong $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ cho $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Bước 3.4.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Bước 3.4.3.2

Viết lại $- 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ ở dạng $- \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ .

$0 = - \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ .

$- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ cho $- 1$ .

$\frac{- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.1.2

Chia $\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)$ cho $1$ .

$\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\ln (- 2 \cdot 1 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.2.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\ln (- 2 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\ln (- 2 - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.3

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.6.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\ln (\frac{- 6 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.6.2

Trừ $1$ khỏi $- 6$ .

$\ln (\frac{- 7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.8

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.9

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (\frac{- 7 - 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.11.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$\ln (\frac{- 7 - 12}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.11.2

Trừ $12$ khỏi $- 7$ .

$\ln (\frac{- 19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$

Bước 6.3

Để giải tìm $K$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (- \frac{19}{3} + K)} = e^{0}$

Bước 6.4

Viết lại $\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{19}{3} + K$

Bước 6.5

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{19}{3} + K = e^{0}$ .

$- \frac{19}{3} + K = e^{0}$

Bước 6.5.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{19}{3} + K = 1$

Bước 6.5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Cộng $\frac{19}{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 1 + \frac{19}{3}$

Bước 6.5.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$K = \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Bước 6.5.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{3 + 19}{3}$

Bước 6.5.3.4

Cộng $3$ và $19$ .

$K = \frac{22}{3}$

Bước 7

Thay $\frac{22}{3}$ cho $K$ trong $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $\frac{22}{3}$ bằng $K$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{22}{3})$