Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - y^{2} x = x$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $y^{2} x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = x + y^{2} x$

Bước 1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x + y^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + y^{2} x$

Bước 1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + y^{2} x$

Bước 1.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x y^{2}$

Bước 1.2.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 + y^{2})$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2}))$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $1 + y^{2}$ ra ngoài $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Bước 1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \tan (\frac{x^{2}}{2} + K)$