Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{3} \cos^{2} (x)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (4 y^{3} \cos^{2} (x))$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Bước 1.2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $y^{3}$ ra ngoài $y^{3} \cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} (\cos^{2} (x)))$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Bước 1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \cos^{2} (x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y^{3}} d y = 4 \cos^{2} (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Di chuyển $y^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 3}$ đối với $y$ là $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Viết lại $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nhân $\frac{1}{y^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.2.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.3.2

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 2.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 2.3.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 2.3.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 2.3.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 2.3.4.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 2.3.5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Bước 2.3.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

Bước 2.3.7

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.3.7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.3.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 2.3.8

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 2.3.9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 2.3.10

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

Bước 2.3.11

Rút gọn.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

Bước 2.3.12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

Bước 2.3.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.13.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.13.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.13.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.13.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + \sin (2 x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$2 y^{2}, 1, 1, 1$

Bước 3.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$2 y^{2}$

Bước 3.2

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ với $2 y^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ với $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2 y^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Bước 3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Bước 3.2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 1 = 2 \cdot 2 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Bước 3.2.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- 1 = 4 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Bước 3.2.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + K (2 y^{2})$

Bước 3.2.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$

Bước 3.2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$

Bước 3.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$ .

$4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Bước 3.3.2

Đưa $2 y^{2}$ ra ngoài $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đưa $2 y^{2}$ ra ngoài $4 x y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Bước 3.3.2.2

Đưa $2 y^{2}$ ra ngoài $2 y^{2} \sin (2 x)$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Bước 3.3.2.3

Đưa $2 y^{2}$ ra ngoài $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 y^{2} K = - 1$

Bước 3.3.2.4

Đưa $2 y^{2}$ ra ngoài $2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x)$ .

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K = - 1$

Bước 3.3.2.5

Đưa $2 y^{2}$ ra ngoài $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$

Bước 3.3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ cho $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ cho $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Bước 3.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Bước 3.3.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Bước 3.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 x + \sin (2 x) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Bước 3.3.3.2.2.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Bước 3.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Bước 3.3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Bước 3.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Bước 3.3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.