Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} y - 3 x y$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x y$ ra ngoài $4 x^{2} y - 3 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $x y$ ra ngoài $4 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x) - 3 x y$

Bước 1.1.2

Đưa $x y$ ra ngoài $- 3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x) + x y (- 3)$

Bước 1.1.3

Đưa $x y$ ra ngoài $x y (4 x) + x y (- 3)$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x - 3)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y (4 x - 3))$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y (4 x - 3)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (4 x - 3)))$

Bước 1.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (4 x - 3)))$

Bước 1.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (4 x - 3)$

Bước 1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (4 x) + x \cdot - 3$

Bước 1.3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x \cdot x + x \cdot - 3$

Bước 1.3.4

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x \cdot x - 3 \cdot x$

Bước 1.3.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x) - 3 \cdot x$

Bước 1.3.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 3 \cdot x$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 3 x$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{2} - 3 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{2} - 3 x d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} - 3 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int - 3 x d x$

Bước 2.3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int - 3 x d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 3 x d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 3 \int x d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3}) x^{3} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C}$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C}$

Bước 3.3.2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{3}{2}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + C}$

Bước 3.3.2.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + C}$ ở dạng $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}}$