Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = 8 t + 6 t^{2}$ , $y (1) = 2$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (8 t + 6 t^{2}) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 8 t d t + \int 6 t^{2} d t$

Bước 2.3.2

Vì $8$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 8 \int t d t + \int 6 t^{2} d t$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 6 t^{2} d t$

Bước 2.3.4

Vì $6$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 \int t^{2} d t$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.3

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{6}{3} t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{2}{1} t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 2 t^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = 2 t^{3} + 4 t^{2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $t$ và $2$ cho $y$ trong $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ .

$2 = 2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$ .

$2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Bước 4.2

Rút gọn $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Bước 4.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Bước 4.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 + 4 \cdot 1 + K = 2$

Bước 4.2.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$2 + 4 + K = 2$

Bước 4.2.2

Cộng $2$ và $4$ .

$6 + K = 2$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 2 - 6$

Bước 4.3.2

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$K = - 4$

Bước 5

Thay $- 4$ cho $K$ trong $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 4$ bằng $K$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} - 4$