Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{4}}{4 e^{y}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{5 x^{4}}{4 e^{y}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $e^{y}$ ra ngoài $4 e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{5 x^{4}}{e^{y} \cdot 4}$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{5 x^{4}}{e^{y} \cdot 4}$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{4}}{4}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$e^{y} d y = \frac{5 x^{4}}{4} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int e^{y} d y = \int \frac{5 x^{4}}{4} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{5 x^{4}}{4} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{5}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{5}{4}$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4} \int x^{4} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4} (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $\frac{5}{4} (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ ở dạng $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Nhân $\frac{5}{4}$ với $\frac{1}{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{4 \cdot 5} x^{5} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Nhân $4$ với $5$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5}{20} x^{5} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $5$ và $20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 (1)}{20} x^{5} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $20$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4} x^{5} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4} x^{5} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{5} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$e^{y} = \frac{1}{4} x^{5} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$

Bước 3.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$

Bước 3.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$

Bước 3.2.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (\frac{x^{5}}{4} + K)$