Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 8 + 2 x - 3 x^{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (8 + 2 x - 3 x^{2}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 8 + 2 x - 3 x^{2} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 8 + 2 x - 3 x^{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 8 d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 2.3.5

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) - 3 \int x^{2} d x$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C_{5}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C_{5}$

Bước 2.3.7.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C_{5}$

Bước 2.3.7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C_{5}$

Bước 2.3.7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C_{5}$

Bước 2.3.7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C_{5}$

Bước 2.3.7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C_{5}$

Bước 2.3.7.2.3.2.4

Chia $- x^{3}$ cho $1$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - x^{3} + C_{5}$

Bước 2.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - x^{3} + x^{2} + 8 x + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - x^{3} + x^{2} + 8 x + K$