Giải tích Ví dụ

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $e^{5 x} y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{5 x}$ và $g (x) = y$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 1.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

Bước 1.6

Nhân $5$ với $1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

Bước 1.7

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

Bước 1.8

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

Bước 1.9

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

Bước 1.10

Sắp xếp lại $y$ và $5$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giả sử $u = 8 x$ . Sau đó $d u = 8 d x$ , nên $\frac{1}{8} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Hãy đặt $u = 8 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Tính đạo hàm $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Bước 5.1.1.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Bước 5.1.1.4

Nhân $8$ với $1$ .

$8$

Bước 5.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

Bước 5.2

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{8}$ .

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

Bước 5.3

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

Bước 5.4

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Rút gọn.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

Bước 5.5.2

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $\cos (u)$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

Bước 5.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 x$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

Bước 5.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ cho $e^{5 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ cho $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Kết hợp $\cos (8 x)$ và $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Bước 6.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Bước 6.3.1.3

Nhân $\frac{1}{e^{5 x}}$ với $\frac{\cos (8 x)}{8}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Bước 6.3.1.4

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $e^{5 x}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$