Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Bước 1.2.2

Kết hợp.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $\sqrt{y}$ ra ngoài $4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Bước 1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Bước 1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (\sqrt{y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đưa $\cos^{2} (\sqrt{y})$ ra ngoài $4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Bước 1.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Bước 1.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4}$

Bước 1.2.5

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \frac{1}{4} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân với $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.1.2

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.1.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ sang $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.1.4

Nhân $\sqrt{y}$ với $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.1.5

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{y}}$ và $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.2.3

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.2.4

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.2.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.2.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.3

Giả sử $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ , nên $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Hãy đặt $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Tính đạo hàm $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 2.2.3.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.2.3.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.2.3.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.2.3.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 2.2.3.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 2.2.3.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.2.3.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2.3.1.8.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.4

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.5

Vì đạo hàm của $\tan (u)$ là $\sec^{2} (u)$ , tích phân của $\sec^{2} (u)$ là $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$2 \tan (u) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{4} x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ cho $2$ .

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.1.2.1.2

Chia $\tan (y^{\frac{1}{2}})$ cho $1$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.1.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.1.3.1.3

Nhân $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.3.1

Nhân $\frac{x}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.1.3.1.3.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Bước 3.2

Thay $u$ bằng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (u) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Bước 3.3

Sắp xếp lại $\frac{x}{8}$ và $\frac{K}{2}$ .

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{8}$

Bước 3.4

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $u$ từ trong hàm tang.

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

Bước 3.5

Thay $y^{\frac{1}{2}}$ cho $u$ và giải $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Bước 3.5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Bước 3.5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Bước 3.5.2.1.2

Rút gọn.

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = {\arctan (K + \frac{x}{8})}^{2}$