Giải tích Ví dụ

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

Bước 1

Trừ $8 x y^{3} d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x^{2} y^{2}$ ra ngoài $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Bước 3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Bước 3.5

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $x y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $x y^{3}$ ra ngoài $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

Bước 3.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $12$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

Bước 4.2.3

Rút gọn.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

Bước 4.3.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 4.3.3

Nhân $8$ với $- 1$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Rút gọn $12 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $12$ trong logarit.

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Bước 5.2.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{12}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Bước 5.2.1.1.3

Rút gọn $8 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $8$ trong logarit.

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

Bước 5.2.1.1.4

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{8}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

Bước 5.2.1.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

Bước 5.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

Bước 5.4

Viết lại $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

Bước 5.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $y^{12} x^{8} = e^{C}$ .

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

Bước 5.5.2

Chia mỗi số hạng trong $y^{12} x^{8} = e^{C}$ cho $x^{8}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y^{12} x^{8} = e^{C}$ cho $x^{8}$ .

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Bước 5.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Bước 5.5.2.2.1.2

Chia $y^{12}$ cho $1$ .

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Bước 5.5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

Bước 5.5.4

Rút gọn $\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Viết lại $\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

Bước 5.5.4.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.1

Viết lại $x^{8}$ ở dạng ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

Bước 5.5.4.2.2

Viết lại $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ ở dạng $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

Bước 5.5.4.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Bước 5.5.4.3

Nhân $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Bước 5.5.4.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.4.1

Nhân $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Bước 5.5.4.4.2

Nâng $\sqrt[3]{x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Bước 5.5.4.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Bước 5.5.4.4.4

Cộng $1$ và $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Bước 5.5.4.4.5

Viết lại ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ ở dạng $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.4.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Bước 5.5.4.4.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Bước 5.5.4.4.5.3

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Bước 5.5.4.4.5.4

Nhân $2$ với $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Bước 5.5.4.4.5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.4.5.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Bước 5.5.4.4.5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.4.5.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Bước 5.5.4.4.5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Bước 5.5.4.4.5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Bước 5.5.4.4.5.5.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.5.1

Viết lại ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.5.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.5.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.5.3

Đưa $x^{3}$ ra ngoài.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.5.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.5.5

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.5.5.1

Viết lại biểu thức bằng các chỉ số chung nhỏ nhất của $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.5.5.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.5.5.1.2

Viết lại $x^{\frac{1}{3}}$ ở dạng $x^{\frac{4}{12}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.5.5.1.3

Viết lại $x^{\frac{4}{12}}$ ở dạng $\sqrt[12]{x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.5.5.2

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.6

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.6.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.6.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Bước 5.5.4.6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Bước 5.5.4.6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

Bước 5.5.4.6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Bước 5.5.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.