Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y^{2})}{(1 + x^{2})}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{1 + x^{2}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{1 + x^{2}}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Bước 3.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Bước 3.3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Bước 3.4

Viết lại phương trình ở dạng $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Bước 3.5

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arctan (y)$ từ trong hàm tang.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Bước 3.6

Cộng $K$ cho cả hai vế của phương trình.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Bước 3.7

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Bước 3.8

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Bước 3.9

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arctan (y)$ từ trong hàm tang.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Bước 3.10

Cộng $K$ cho cả hai vế của phương trình.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Bước 3.11

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$