Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{1 + e^{x}}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int d x}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{x + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{x}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \frac{1}{1 + e^{x}}$

Bước 2.2

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Bước 2.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{x} y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giả sử $u = 1 + e^{x}$ . Sau đó $d u = e^{x} d x$ , nên $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Hãy đặt $u = 1 + e^{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Bước 6.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 6.1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 6.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Bước 6.1.1.4

Cộng $0$ và $e^{x}$ .

$e^{x}$

Bước 6.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{x} y = \int \frac{1}{u} d u$

Bước 6.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$e^{x} y = \ln (| u |) + C$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + e^{x}$ .

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ cho $e^{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ cho $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |) + C}{e^{x}}$