Giải tích Ví dụ

$t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$ cho $t$ .

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d x}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 1.3

Đưa $x$ ra ngoài $\frac{2 x}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại $x$ và $\frac{2}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = \frac{2}{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{2}{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{t}$ đối với $t$ là $\ln (| t |)$ .

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (t)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (t^{2})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$t^{2}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{2}{t}$ và $x$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t (4 e^{t})$

Bước 3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t e^{t}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t e^{t}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t e^{t} d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$t^{2} x = \int 4 t e^{t} d t$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$t^{2} x = 4 \int t e^{t} d t$

Bước 7.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Bước 7.3

Tích phân của $e^{t}$ đối với $t$ là $e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Bước 7.4

Rút gọn.

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ cho $t^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ cho $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t}) + C}{t^{2}}$

Bước 8.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{4 (t e^{t}) + 4 (- e^{t}) + C}{t^{2}}$

Bước 8.3.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$x = \frac{4 t e^{t} - 4 e^{t} + C}{t^{2}}$