Giải tích Ví dụ

$e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x} = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d f}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} + e^{x} = 1$

Bước 1.1.2

Trừ $e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$

Bước 1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ cho $e^{2 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ cho $e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d f}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{x}$ và $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $- e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x}}$

Bước 1.1.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 1.1.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 1.1.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{- x}}{1}$

Bước 1.1.3.3.1.2.4

Chia $- e^{- x}$ cho $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d f = (\frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d f = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} d x + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Làm âm số mũ của $e^{2 x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$f + C_{1} = \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.2.2.2

Nhân $e^{- 2 x}$ với $1$ .

$f + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.3

Giả sử $u_{1} = - 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Hãy đặt $u_{1} = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.3.3.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 2.3.3.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 2.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.4.2

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$f + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.7

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{- x} d x$

Bước 2.3.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{- x} d x$

Bước 2.3.9

Giả sử $u_{2} = - x$ . Sau đó $d u_{2} = - d x$ , nên $- d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1

Hãy đặt $u_{2} = - x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3.9.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.3.9.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.3.9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.11.2

Nhân $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ với $1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.12

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + e^{u_{2}} + C_{3}$

Bước 2.3.13

Rút gọn.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Bước 2.3.14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- 2 x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Bước 2.3.14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$f = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + K$