Giải tích Ví dụ

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Bước 2.3.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Bước 2.3.4.2

Nhân $\int e^{- x} d x$ với $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Bước 2.3.5

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3.5.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.3.5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.3.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Bước 2.3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Bước 2.3.7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Bước 2.3.8

Viết lại $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ ở dạng $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Bước 2.3.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Bước 3

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Bước 3.3.2.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Bước 3.3.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Bước 3.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Bước 3.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Bước 3.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Bước 3.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Bước 3.3.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.6.1

Viết lại $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ ở dạng $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Bước 3.3.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $5$ cho $y$ trong $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ .

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ .

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $- 2$ .

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Rút gọn $- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ vào tử số.

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.1.1.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.1.1.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.1.1.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.1.1.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.1.1.1.2.2

Nhân với 0.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1.2.2.1

Nhân $0$ với $e^{0}$ .

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.1.1.1.2.2.2

Nhân $4$ với $0$ .

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.1.1.1.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.1.1.1.2.4

Nhân $0 + 4 e^{0} + K$ với $1$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.1.1.1.2.5

Cộng $0$ và $4 e^{0}$ .

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.1.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.1.1.2.2

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + K = - 2 \cdot 5$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $- 2$ với $5$ .

$4 + K = - 10$

Bước 6.4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = - 10 - 4$

Bước 6.4.2

Trừ $4$ khỏi $- 10$ .

$K = - 14$

Bước 7

Thay $- 14$ cho $K$ trong $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $- 14$ bằng $K$ .

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Bước 7.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

Bước 7.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

Bước 7.2.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 14$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

Bước 7.2.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

Bước 7.2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

Bước 7.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

Bước 7.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

Bước 7.2.6.4

Chia $2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ cho $1$ .

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Bước 7.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

Bước 7.4.3

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$