Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x + 3}{y - 5}$ , $y (0) = 8$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y - 5$ .

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = 5 x + 3$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(y - 5) d y = (5 x + 3) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y d y + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Bước 2.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 5 y + C_{2} = \int 5 x + 3 d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x + 3 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 \int x d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 3 d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + C_{6}$

Bước 2.3.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + K$

Bước 3.3

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Trừ $\frac{5 x^{2}}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} = 3 x + K$

Bước 3.3.2

Trừ $3 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x = K$

Bước 3.3.3

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - K = 0$

Bước 3.4

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $2$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.2

Nhân $- 5$ với $2$ .

$y^{2} - 10 y + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5 x^{2}}{2}$ vào tử số.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.4

Nhân $- 3$ với $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x - 2 K = 0$

Bước 3.4.3

Di chuyển $- 10 y$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 6 x - 2 K - 10 y = 0$

Bước 3.4.4

Di chuyển $- 6 x$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

Bước 3.4.5

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $- 5 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} + y^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

Bước 3.5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.6

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 10$ , và $c = - 5 x^{2} - 2 K - 6 x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.4.1

Nhân $- 5$ với $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.4.2

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.4.3

Nhân $- 6$ với $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5

Đưa $4$ ra ngoài $100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.2

Đưa $4$ ra ngoài $20 x^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.3

Đưa $4$ ra ngoài $8 K$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.4

Đưa $4$ ra ngoài $24 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (25) + 4 (5 x^{2})$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5.7

Đưa $4$ ra ngoài $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.6

Viết lại $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ ở dạng $2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.6.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.8

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$

Bước 3.7.3

Rút gọn $\frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

Bước 3.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

Bước 5

Vì $y$ dương ở điều kiện ban đầu $(0, 8)$ , nên chỉ xem xét $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ để tìm $K$ . Thay $0$ cho $x$ và $8$ cho $y$ .

$8 = 5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$ .

$5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$

Bước 6.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8 - 5$

Bước 6.2.2

Trừ $5$ khỏi $8$ .

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 3$

Bước 6.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}}^{2} = 3^{2}$

Bước 6.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ ở dạng ${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Rút gọn ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Bước 6.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Bước 6.4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Bước 6.4.2.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

${(25 + 5 \cdot 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Bước 6.4.2.1.2.2

Nhân $5$ với $0$ .

${(25 + 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Bước 6.4.2.1.2.3

Nhân $6$ với $0$ .

${(25 + 0 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

Bước 6.4.2.1.3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $25 + 0 + K + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.3.1.1

Cộng $25$ và $0$ .

${(25 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

Bước 6.4.2.1.3.1.2

Cộng $25 + K$ và $0$ .

${(25 + K)}^{1} = 3^{2}$

Bước 6.4.2.1.3.2

Rút gọn.

$25 + K = 3^{2}$

Bước 6.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$25 + K = 9$

Bước 6.5

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Trừ $25$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 9 - 25$

Bước 6.5.2

Trừ $25$ khỏi $9$ .

$K = - 16$

Bước 7

Thay $- 16$ cho $K$ trong $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $- 16$ bằng $K$ .

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} - 16 + 6 x}$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Trừ $16$ khỏi $25$ .

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 9 + 6 x}$

Bước 7.2.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 6 x + 9}$