Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x} - \frac{2}{x}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (\sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int \sqrt{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 2.3.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

Bước 2.3.5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 2.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.7

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \ln (| x |) + C$