Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + y = y x e^{x + 2}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = y x e^{x + 2} - y$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y x e^{x + 2} - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x e^{x + 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) - y$

Bước 1.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$

Bước 1.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2} - 1)$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Bước 1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x e^{x + 2} - 1$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = (x e^{x + 2} - 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x + 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.3

Giả sử $u = x + 2$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Hãy đặt $u = x + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Tính đạo hàm $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 2.3.3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.3.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{u} d u + \int - 1 d x$

Bước 2.3.4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Bước 2.3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) - x + C_{3}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{u} - x + C_{4}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{x + 2} - x + C_{4}$

Bước 2.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Bước 3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$ ở dạng $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$