Giải tích Ví dụ

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $a$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{b} d x$ , nên $b d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

Bước 2.3.2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{x}{b}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Bước 2.3.2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Bước 2.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Vì $\frac{1}{b}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{b}$ đối với $x$ là $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.3.3

Nhân $\frac{1}{b}$ với $1$ .

$0 + \frac{1}{b}$

Bước 2.3.2.1.4

Cộng $0$ và $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{b}$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

Bước 2.3.3.2

Nhân $b$ với $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

Bước 2.3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{u^{2}}$ và $b$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

Bước 2.3.4

Vì $b$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $b$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Bước 2.3.5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.5.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại $a b (- u^{- 1} + C_{2})$ ở dạng $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Kết hợp $a$ và $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Kết hợp $b$ và $\frac{a}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

Bước 3.2.2.1.1.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

Bước 3.2.2.1.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

Bước 3.2.2.1.1.3

Nhân $b a \frac{b}{b + x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.3.1

Kết hợp $b$ và $\frac{b}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

Bước 3.2.2.1.1.3.2

Nâng $b$ lên lũy thừa $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

Bước 3.2.2.1.1.3.3

Nâng $b$ lên lũy thừa $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

Bước 3.2.2.1.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

Bước 3.2.2.1.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

Bước 3.2.2.1.1.3.6

Kết hợp $a$ và $\frac{b^{2}}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Để viết $K$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{b + x}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

Bước 3.2.2.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

Bước 3.2.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

Bước 3.2.2.1.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

Bước 3.2.2.1.5.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- a b^{2}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

Bước 3.2.2.1.5.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $K b$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

Bước 3.2.2.1.5.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (a b^{2}) - (- K b)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

Bước 3.2.2.1.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $K x$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

Bước 3.2.2.1.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Bước 3.2.2.1.5.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.5.7.1

Viết lại $- (a b^{2} - K b - K x)$ ở dạng $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Bước 3.2.2.1.5.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Bước 3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Bước 3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Bước 3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$