Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Bước 1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 1.1.3.2

Nhân $\frac{y}{2 + 3 y}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Bước 1.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{y}{(2 + 3 y) x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 + 3 y)}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{2 + 3 y}{y}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} (\frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nhân $\frac{y}{2 + 3 y}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 + 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $2 + 3 y$ ra ngoài $(2 + 3 y) x$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) (x)}$

Bước 1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Bước 1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{2 + 3 y}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{2 + 3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{2}{y} + \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.3.2

Chia $3$ cho $1$ .

$\int \frac{2}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.4

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{1}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$2 \ln (| y |) + 3 y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$