Giải tích Ví dụ

$x (y d) x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Bước 1

Trừ $x y d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(x^{2} + 1) d y = - x y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ vào tử số.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Bước 3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Bước 3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Bước 3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Bước 3.3.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 1} x d x$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{- 1}{x^{2} + 1}$ và $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4.3.2

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 4.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3.2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 4.3.2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 4.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 4.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 4.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 4.3.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 4.3.6

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 4.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\ln (| x^{2} + 1 |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Bước 5.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 5.3

Để viết $\ln (| y |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 5.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Kết hợp $\ln (| y |)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 5.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 5.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 5.6

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 5.6.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 5.6.1.1.3

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Bước 5.6.1.2

Viết lại $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |) = C$

Bước 5.6.1.3

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} + 1 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 5.6.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $y^{2} | x^{2} + 1 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 5.6.1.5

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 5.6.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 5.6.1.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (y^{1} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 5.6.1.6

Rút gọn.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 5.7

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Bước 5.8

Viết lại $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 5.9

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Viết lại phương trình ở dạng $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Bước 5.9.2

Chia mỗi số hạng trong $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ cho ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ cho ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.9.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.9.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$