Giải tích Ví dụ

$(y^{2} + 4 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$(y^{2} + 4 y - 1) d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y^{2} + 4 y - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y^{2} d y + \int 4 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int 4 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Bước 2.2.3

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Bước 2.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Bước 2.2.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) - y + C_{3} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C_{2}) - y + C_{3} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Bước 2.2.6.2

Rút gọn.

$\frac{y^{3}}{3} + 2 y^{2} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Bước 2.2.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} y^{3} + 2 y^{2} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Bước 2.2.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + \int 3 d x$

Bước 2.3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + 3 x + C_{7}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{6}) + 3 x + C_{7}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{8}$

Bước 2.3.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{8}$

Bước 2.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{8}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$