Giải tích Ví dụ

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = \frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{1}{y}$ ở dạng $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

Bước 1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Bước 2.4

Vì $3 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

Bước 2.6

Vì $- \frac{1}{y^{2}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x}{y^{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.7

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.7.2

Nhân $\frac{1}{y^{2}}$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Bước 2.9

Nhân $\frac{1}{y^{2}}$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- \frac{1}{y^{2}}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $\frac{1}{y^{2}}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $\frac{1}{y^{2}}$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $- \frac{1}{y^{2}}$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

Bước 4.3

Thay $\frac{1}{y}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $\frac{1}{y}$ bằng $M$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

Bước 4.3.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

Bước 4.3.3

Nhân $- - \frac{1}{y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

Bước 4.3.3.2

Nhân $\frac{1}{y^{2}}$ với $1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

Bước 4.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{y^{2}} y$

Bước 4.3.6

Thay $\frac{1}{y}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Bước 4.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Bước 4.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Bước 5.4.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ với hệ số tích phân $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{y}$ với $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Bước 6.2.3

Viết lại biểu thức.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ với $y^{2}$ .

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Bước 6.6

Nhân $- - \frac{x}{y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Bước 6.6.2

Nhân $\frac{x}{y^{2}}$ với $1$ .

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Bước 6.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Bước 6.8

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Bước 6.8.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Bước 6.8.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Bước 6.8.3

Cộng $2$ và $1$ .

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Bước 6.9

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Bước 6.9.2

Viết lại biểu thức.

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = y x + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Bước 11.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 3 y^{3} + x - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $- 3 y^{3}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- 3 y^{3}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

Bước 13.3

Vì $- 3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

Bước 13.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Bước 13.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Viết lại $- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ ở dạng $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Bước 13.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

Bước 13.5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Bước 15

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $y^{4}$ và $\frac{3}{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

Bước 15.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y^{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$