Giải tích Ví dụ

$(2 x + y^{3}) d x + (3 x y^{2} - e^{2 y}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y^{3}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Bước 1.3

Vì $2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

Bước 1.5

Cộng $0$ và $3 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 3 x y^{2} - e^{2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} - e^{2 y}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x y^{2} - e^{2 y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3 y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x y^{2}$ đối với $x$ là $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- e^{2 y}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- e^{2 y}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $3 y^{2}$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $3 y^{2}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $3 y^{2}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = 3 y^{2}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$3 y^{2} = 3 y^{2}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + y^{3} d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y^{3} d x$

Bước 5.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y^{3} d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C$

Bước 5.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{3} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Bước 8.2.2

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{3} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Bước 8.3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Cộng $0$ và $3 x y^{2}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $3 y^{2} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $3 x y^{2}$ và $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

Bước 9.1.2.2

Trừ $3 y^{2} x$ khỏi $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - e^{2 y}$

Bước 9.1.2.3

Trừ $e^{2 y}$ khỏi $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $- e^{2 y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{2 y} d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{2 y} d y$

Bước 10.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - \int e^{2 y} d y$

Bước 10.4

Giả sử $u = 2 y$ . Sau đó $d u = 2 d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Hãy đặt $u = 2 y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.1

Tính đạo hàm $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 10.4.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 10.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (y) = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 10.5

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 10.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Bước 10.7

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Bước 10.8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Bước 10.9

Rút gọn.

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

Bước 10.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

Bước 12

Kết hợp $e^{2 y}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{e^{2 y}}{2} + C$