Giải tích Ví dụ

$(2 x^{2} - y e^{x}) d x - e^{x} d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x^{2} - y e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} - y e^{x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - y e^{x}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Bước 1.2.2

Vì $2 x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- e^{x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y e^{x}$ đối với $y$ là $- e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x}$

Bước 1.4

Trừ $e^{x}$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{x}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{x}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- e^{x}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- e^{x}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- e^{x} = - e^{x}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- e^{x} = - e^{x}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - e^{x} d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = - e^{x}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = - e^{x} y + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y + g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- e^{x} y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [- e^{x} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $- y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{x} y$ đối với $x$ là $- y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$- y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - e^{x} y = 2 x^{2} - y e^{x}$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} - e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y e^{x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng $y e^{x}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Cộng $- y e^{x}$ và $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $2 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $2 x^{2}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{2} d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{2} d x$

Bước 10.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 2 \int x^{2} d x$

Bước 10.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Bước 10.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Viết lại $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Bước 10.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{2}{3} x^{3} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Bước 12

Rút gọn $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = - y e^{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$