Giải tích Ví dụ

$(2 x + 4 y - 1) d x + (4 x + 6 y + 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x + 4 y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 4 y - 1]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 4 y - 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 1.2.2

Vì $2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $4 y$ đối với $y$ là $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 + 0$

Bước 1.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng $0$ và $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 4 x + 6 y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x + 6 y + 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 6 y + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $6 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 + 0 + 0$

Bước 2.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 + 0$

Bước 2.5.2

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $4$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $4$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 = 4$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$4 = 4$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + 4 y - 1 d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 2 x + 4 y - 1$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int 4 y d x + \int - 1 d x$

Bước 5.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int 4 y d x + \int - 1 d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 y d x + \int - 1 d x$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 y x + C + \int - 1 d x$

Bước 5.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 y x + C + \int - 1 d x$

Bước 5.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 y x + C - x + C$

Bước 5.7

Rút gọn.

$f (x, y) = x^{2} + 4 y x - x + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 4 y x - x + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x + 6 y + 1$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + 4 y x - x + g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4 y x - x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y x] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y x] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Bước 8.2.2

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [4 y x] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [4 y x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $4 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $4 y x$ đối với $y$ là $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Bước 8.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$0 + 4 x + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Bước 8.4

Vì $- x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + 4 x + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 x + 6 y + 1$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 4 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 4 x + 6 y + 1$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1.1

Cộng $0$ và $4 x$ .

$4 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 4 x + 6 y + 1$

Bước 8.6.1.2

Cộng $4 x$ và $0$ .

$4 x + \frac{d g}{d y} = 4 x + 6 y + 1$

Bước 8.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 4 x = 4 x + 6 y + 1$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 4 x + 6 y + 1 - 4 x$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 x + 6 y + 1 - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $4 x$ khỏi $4 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y + 1 + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $6 y + 1$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y + 1$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $6 y + 1$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 6 y + 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 6 y + 1 d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 6 y + 1 d y$

Bước 10.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int 6 y d y + \int d y$

Bước 10.4

Vì $6$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 6 \int y d y + \int d y$

Bước 10.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 6 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y$

Bước 10.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = 6 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C$

Bước 10.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$g (y) = 6 (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C$

Bước 10.8

Rút gọn.

$g (y) = 3 y^{2} + y + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = x^{2} + 4 y x - x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + 4 y x - x + 3 y^{2} + y + C$