Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2}}{y} = 4 y \frac{d y}{d x}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đổi dấu hai vế để được $\frac{d y}{d x}$ ở vế trái.

$4 y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $y$ .

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Bước 1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = x^{2}$

Bước 1.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$y \cdot 4 y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$y \cdot 4 y d y = x^{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y \cdot 4 y d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $y$ .

$\int 4 \cdot y \cdot y d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.1.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 (y^{1} y) d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.1.3

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 (y^{1} y^{1}) d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 y^{1 + 1} d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 4 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Viết lại $4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ ở dạng $4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.4.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{4}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3}) = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $y^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y^{3}}{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Kết hợp.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.4.2

Chia $y^{3}$ cho $1$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $\frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{4} K$

Bước 3.2.2.1.3

Kết hợp.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} K$

Bước 3.2.2.1.4

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $K$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Bước 3.2.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Bước 3.2.2.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$

Bước 3.4

Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$

Bước 3.4.2

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$

Bước 3.4.3

Nhân $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Bước 3.4.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Bước 3.4.4.2

Nâng $\sqrt[3]{4}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Bước 3.4.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Bước 3.4.4.4

Cộng $1$ và $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Bước 3.4.4.5

Viết lại ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ ở dạng $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{4}$ ở dạng $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 3.4.4.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 3.4.4.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Bước 3.4.4.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Bước 3.4.4.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Bước 3.4.4.5.5

Tính số mũ.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Bước 3.4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Viết lại ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Bước 3.4.5.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

Bước 3.4.5.3

Viết lại $16$ ở dạng $2^{3} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.3.1

Đưa $8$ ra ngoài $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Bước 3.4.5.3.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Bước 3.4.5.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Bước 3.4.5.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Bước 3.4.6

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Bước 3.4.6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$

Bước 3.4.6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + 3 K)}}{2}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + K)}}{2}$