Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{8 \sqrt{x}}$ , $y (25) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Bước 2.3.2

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Bước 2.3.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.3.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 2.3.3.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Viết lại $- \frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ ở dạng $- \frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $25$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = - \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{1} + K = 0$

Bước 4.2.4

Tính số mũ.

$- \frac{1}{4} \cdot 5 + K = 0$

Bước 4.2.5

Nhân $- \frac{1}{4} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{4}) + K = 0$

Bước 4.2.5.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 5}{4} + K = 0$

Bước 4.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{4} + K = 0$

Bước 4.3

Cộng $\frac{5}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = \frac{5}{4}$

Bước 5

Thay $\frac{5}{4}$ cho $K$ trong $y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{5}{4}$ bằng $K$ .

$y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{4}$

Bước 5.2

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5}{4}$