Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $1 + y$ .

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = x$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(1 + y) d y = x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 1 + y d y = \int x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d y + \int y d y = \int x d x$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int y d y = \int x d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$y + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x$

Bước 2.2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{2}}{2} + K$

Bước 3.3

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Trừ $\frac{x^{2}}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} = K$

Bước 3.3.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Bước 3.4

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $2$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x^{2}}{2}$ vào tử số.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y^{2} + 2 y - x^{2} - 2 K = 0$

Bước 3.4.3

Di chuyển $2 y$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Bước 3.4.4

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Bước 3.5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.6

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 2$ , và $c = - x^{2} - 2 K$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.4

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 + 4 x^{2} + 8 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $8 K$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.6.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.7

Viết lại $4 (1 + x^{2} + 2 K)$ ở dạng $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.7.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.7.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.9

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$

Bước 3.7.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Bước 3.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K}$